A-level考试必考内容，二次函数三种不同的解法

A-level考试必考内容，二次函数三种不同的解法

无论是爱德斯、CIE、AQA还是OCR，在各大考局的Alevel考试中，二次函数都是一个必考的内容。

接下来，我们将详细讲解二次函数三种不同的解法。

首先，让我们来看看二次函数基本的格式：

图像上来讲，所有二次函数可被分为两大类，即

二次函数的大致形状是我们最容易发现的一个特征，只要知道系数的符号即可。

另一个比较容易发现的特征是二次函数与y轴的交点，当x=0时，y=0+0+c=c，所以所有二次函数与y轴的交点坐标都是(0,c)。

接下来的部分就是二次函数的重点了，我们需要解得图像与x轴的交点，即ax2+bx+c=0时x的解。

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我们有三种不同的方法求解，分别为：

■ Factorisation

■ Completingthe square

■ Using the formula

这三种解法各有各的优点和缺点，下面我们将详细讲解它们。

一

Factorisation

顾名思义，factorisation是将原函数拆分为两个相乘的factors的方法。

下面我们来看几道例题：

它们可被拆分为

这个方法的好处是一旦拆分后，我们可以很轻松地得出x所对应的值。但坏处是，很多二次函数都是不能拆分为两个明显的乘积的。而且需要大量的练习，才能熟练、快速地找到factors。

二

Completingthe square

这种方法是将原二次函数写成完全平方公式的格式，即将ax2+bx+c=0写成的形式。这种方法多用于发现函数的最大值或最小值，因为，所以

我们利用公式就能将原二次函数转化为完全平方的形式，这个公式在各教材中都有证明，有兴趣的同学也可以自己尝试去证明。

三

Using the formula

最后一个方法应该是最简单的，即利用公式

直接得出x的解。利用公式的好处是可以直接解得所有二次函数。该公式中根号内的部分称为discriminant，即。这个值可以用来判断函数解的个数：

总的来说，当我们遇到一道二次函数相关的例题时，应当先去尝试能否将其因式分解，拆成两个数的乘积，若不能，则直接用公式得解。

而当题目要求我们求得函数的最大值/最小值或者直接要求使用Completing the square的方法时，我们再去使用它。

下面来看一道二次函数相关的真题吧：

(a)直接要求我们将本函数写成Completing square的格式，那么我们直接使用公式就可以得到结果：

(b)需要我们画出函数的图像，我们需要知道函数的开口方向（向上，因为a大于0）、与y轴的交点（0，11）即可得到全部分数，若能从(a)问答案看出函数的最小值为2则更好，最终的函数图像为：

(c)需要我们找到discriminant的值，即的值:

下面这道例题就当做课后作业，来试试看自己有没有完全掌握二次函数的考点吧：