A-level数学 | 三角函数真题详解！

A-level数学 | 三角函数真题详解！

Trigonometry的考察一直以来无论在数学还是进阶数学科目中都占有相当的比重，今天我们拿出Edexcel-IAL 2019年10月最新试卷P2中的一道三角函数的题目，一起来详解一下这个阶段我们应该掌握的知识点与解题技巧。

首先我们来看一下题目的i问。

本题在最开始的部分用黑体书写了一段文字，这是我们经常会在三角函数题目部分见到的说明，它是指本道题目完全利用画图以及尝试一些数值代入等其他数字的方法进而得到最后答案是不被接受的。也就是我们还是要利用在这一部分学到的求解三角函数的代数方法。

第一问是一个很简明直接的题目，在一定范围内求解三角函数等式。

本道题目根据教材的说明是一道harder problem，原因是我们并不是求解sinθ，而是关于θ的表达式：sin（2θ-10）。对于这种常见的类型题，我们可以遵循以下几个解题步骤进行求解。

首先，根据计算器求解出sin（2θ-10）=1/3的答案，此时要注意，题目中角度的单位是degree，这个是根据θ的范围单位判断得出。这时我们就有了2θ-10的第一个答案，即19.47°。接着我们利用y=sinx的性质，sinθ=sin（180-θ），可以得到第二个答案，即180°-19.47°=160.53°。

第二步，我们通过题目中给出的θ取值范围，结合2θ-10表达式，得到2θ-10的范围，也就是-10°≤2θ-10≤350°。通过观察我们发现第一步中我们得到的两个答案都在此范围内，且没有其余满足条件的答案。

最后一步，利用2θ-10表达式求解θ的答案，即14.7°即85.3°。注意题目中要求答案保留一位小数位。

接着第ii问：

这一问是一道结合性的题目，题目中提到了arithmetic sequence，即等差数列。

题目中的三个表达式是一个等差数列的前三项，根据等差数列的性质，我们可以得到，通过对这个等式的化简，我们即可得到（a）问中要求证明的形式。

最后一问：

（b）问也是一道计算题目，但却不是直接求解关于某一个三角函数的题目，需要求解的是（a）问中的证明结论，。

这个等式中包含两个不同的三角函数，我们没办法直接计算，所以需要先利用trigonometric identity，，将等式处理为关于cosα的二次函数，这时将cosα当做一个整体求解这道二次函数的题目，最后再求解α。

再求解二次函数时需要注意，cosα的取值范围是-1到+1，不在范围内的答案要舍掉。并且本道题目α的单位是radian，注意调节计算器，答案的要求是3位小数位，注意答案的精确度保留。

本道题目是一道有代表性的三角函数题目，角度的单位既有degree也有radian。并且题目中涉及到了相对复杂的三角函数形式，以及结合了二次函数的考点。

比较有新意的考点是结合了等差数列。建议同学们认真分析本道题目，争取做到举一反三。