搞懂AP微积分级数第一步——熟记7大判别方法 | AP微积分第二讲

搞懂AP微积分级数第一步——熟记7大判别方法 | AP微积分第二讲

提起级数这部分的内容，不少学习微积分BC的同学会瞬间感觉头大。

级数作为微积分考试中最后一章的内容，承担着最难的知识和最复杂的判别方式，特别是在初期学习中，一个个陌生方法的接踵而来，特别是当题目直接出现大量级数的时候，如何准确判断将变得十分艰难，比如下面的这道题目。

不少同学拿到这种题基本上是彷徨而又懵逼的，虽然学到的方法不少但却无法很快地从题目中迅速找到该用哪种方法来进行判断。

接下来，老师就带大家区分一下在AP微积分考试中所有的积分判别方式以及其对应的级数类型，帮助大家迅速进行级数判敛。

1.Geometric Series（几何级数）

几何级数判敛方法是七种方法中唯一一个可以计算级数数值的方法，这也就意味着题目如果问级数计算的结果，那一定是用几何级数进行计算。而同时它明显的特征是前一项与后一项成比例。一旦判定了是几何级数，接下来就是直接套用公式。

2.nth Term Test（n项判断）

第n项判断只能判别发散，不能判别收敛

如果目标是快速判断发散，那nth term将是不错的选择。同时当你对某个级数一筹莫展的时候，不妨也用这个方法试上一试，它极有可能就是发散的。

3.Integral Test （积分法）

积分法适用于把级数中的n改成x后一点儿也不违和的级数。积分法本质的原理就是利用函数积分，如果把n替换掉后的函数完全不认识，那就没有积分法的意义了。比如级数，n换成x，就是，这是熟悉的幂函数。但是对于级数,换为，就很奇怪了，这并不是初等函数。

4.Harmonic Series and p-Series（调和级数与p级数）

P级数判别法是最迅速并且直接有效的级数判别手段，我们可以直接从给定级数的指数进行快速判断，比如发散，收敛。

并且p级数可以结合有理函数的“找最大”的方法，可以将收敛与发散推广到更多的级数。比如也同样发散，而也同样收敛。

5.Comparison Tests（比较法）

比较法是AP考试中比较冷门的方法，它最明显的特征就是，想要判敛必须有其他级数的辅助。比较的原理正是通过其他的级数特点进而推理待求级数的敛散性。

6.Alternating Series Test（交替级数判别法）

交替级数在众多判别方法中算是运算量比较大的一种，而且从逻辑上而言也并不简单，还需要一些记忆能力，掌握清楚具体应该怎么判断。但交替级数的优势也很明显，它有着典型的特点，只要级数的各项是在正负之间变化，那对应的方法都是交替级数判别法。

7.Ratio Test（比值法）

一筹莫展比值法，比值法对于奇形怪状的级数效果十分好，当进行约分时，很多奇怪的项数就会约分掉，极大的简化表达式。而且也是适用性最广的方法，即便是等比级数，也可以利用比值法进行检验，所以一旦觉得表达式整体诡异，那就用比值法，约掉之后，就会简单很多。

级数判敛问题在第十章中占据一半的比重，而在我们的考试中，涉及到的判别方式只有这七种。

同学们如果数理基础比较好，可以利用上文所说的区分方法，快速选择对应的判别方式，又快又准；如果数理基础稍微差些，就将几种方法罗列出来，一个一个往里试，也能选出正确的答案，在考试中，判敛的题目会多次出现，所以罗列出来也是很划算的。

最后再来看看我们开始的这道题目:

I选项，是一个几何级数，公比1，收敛；II选项是p级数，p1，为发散；III奇形怪状，考虑一下n-th test和比值法，用n-th test发现极限不为零，因此发散。该题选择D。

做好级数区分，计算具体数值用几何级数，快速判发散用n项检验，正负变化用交替级数判别法，多个级数用比较法，形如函数用积分法，分式形式p级数，没啥特点用比值。多加练习，级数问题将会变得十分清晰简单。